ارزیابی اعتبار سنجی شده توابع ریاضی خاص
چکیده
به دلیل اهمیت توابع ویژه، کتابهای متعدد و مجموعه بزرگی از مقالات به کاربرد و محاسبه آنها اختصاص داده شده است که معروفترین آنها کتاب راهنما آبرامویتز و استگون (آبرامویتز و استگون 1964) [1] و کتاب بعدی آن (الور و دیگران 0000) [2] می باشد. ولی تا کنون هیچ محیطی ارزیابی مستقل از مبنا و چند دقتی صحیح قابل اثبات این توابع خاص را ارائه نکرده است. ما اشاره می کنیم که چگونه از سریها و نمایشهای کسری پیوسته متناوب محدود در یک بسته که در دانشگاه انتورپ توسعه داده شده به خوبی استفاده کنیم. تکنیک دقت مقیاس‌پذیر ما عمدتا بر اساس استفاده از تیز کردن برش پیشین و حدود بالای با خطای گرد شده برای مباحث واقعی است. پیاده سازی از این نظر اعتبار سنجی شده است که یک محدوده بازه دقیق را برای ارزیابی تابع درخواستی با هزینه یکسان ارزیابی بر می گرداند.
1 مقدمه
توابع خاص در همه زمینه های علمی فراگیر هستند. زمینه های معروفتر در فیزیک، مهندسی، شیمی، علوم کامپیوتر و آمار است. به خاطر اهمیت آنها کتابها و وبسایتهای متعدد و مجموعه بزرگی از مقالات به این توابع اختصاص داده شده اند. از بین کارهای استاندارد روی این موضوع کتاب راهنما توابع ریاضی با فرمولها، گرافها و جداول ریاضی نوشته شده توسط میلتون آبرامویتز و ایرن استگون [1] و چاپ شده تقریبا در 50 سال پیش، موسسه ملی آمریکایی استاندارد و تکنولوژی ادعا می کند که بیش از 700000 نسخه از آن فروش رفته است (بیش از 150000 به ظور مستقیم و تقریبا چهار برابر این عدد به وسیله ناشران تجاری)! این کتاب راهنما قدیمی هنگامی که NIST، DLMF آنلاین را منتشر کرد منسوخ شد: کتابخانه دیجیتال توابع ریاضی NIST توسط فرانک دابلیو.جی. اولور، دنیل دابلیو.لوزیر، رونالد اف. بویزورت و چارلز دابلیو. کلارک ویرایش شده است [2]. به روزرسانیهای DLMF کاملا محتویات کتاب راهنما قدیمی را بازنویسی کرده و گسترش می دهند. به همراه نسخه چاپی آن که همزمان منتشر شد، استفاده از DMLF مداوم افزایش پیدا می کند (با ارجاعها اندازه گرفته شده است). به خاطر ظاهرشدن مکرر در مدلهای ریاضی مسائل علمی، توابع خاص در محاسبات عددی نیز فراگیر هستند. در نتیجه از نظر روشهای عددی برای ارزیابی بسیاری از توابع خاص در بسته های نرم افزاری ریاضی پر کاربرد کمبودی وجودی ندارد. سیستمها و کتابخانه هایی مانند Maple، Mathematica، MATLAB، IMSL، CERN و NAG. ولی تاکنون هیچکدام از اینها روشهای قابل اطمینان یا اعتبارسنجی شده را در بردارند. در این مقاله، یک روتین باید کاری بیش از فقط انجام محاسبه یک تخمین دقیق انجام دهد. علاوه بر ایت باید یک حد تضمین شده روی خطای مقدار عددی محاسبه شده ارائه دهد. در مورد تابع با مقدار حقیقی، این حد خطا یک بازه تعیین می کند که تضمین می شود در آن مقدار دقیق تابع قرار دارد.
abstract
Because of the importance of special functions, several books and a large collection of papers have been devoted to their use and computation, the most well-known being the Abramowitz and Stegun handbook (Abramowitz and Stegun, 1964) [1] and its successor (Olver et al. 0000) [2]. However, until now no environment offers routines for the provable correct multiprecision and radix-independent evaluation of these special functions. We point out how we make good use of series and limit-periodic continued fraction representations in a package that is being developed at the University of Antwerp. Our scalable precision technique is mainly based on the use of sharpened a priori truncation and round-off error upper bounds for real arguments. The implementation is validated in the sense that it returns a sharp interval enclosure for the requested function evaluation, at the same cost as the evaluation.
1. Introduction
Special functions are pervasive in all fields of science. The most well-known application areas are in physics, engineering, chemistry, computer science and statistics. Because of their importance, several books and websites and a large collection of papers have been devoted to these functions. Of the standard work on the subject, the Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables edited by Milton Abramowitz and Irene Stegun [1] and published nearly 50 years ago, the American National Institute of Standards and Technology (NIST) claims to have sold over 700 000 copies (over 150 000 directly and more than four times that number through commercial publishers)! This old handbook became obsolete in 2010 when NIST released the online DLMF: NIST Digital Library of Mathematical Functions edited by Frank W.J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert and Charles W. Clark [2]. The DLMF updates, completely rewrites, and greatly expands the material contained in the old handbook. Together with its simultaneously published print edition, the DLMF is receiving steadily increasing usage (measured by citations). Due to their regular appearance in mathematical models of scientific problems, special functions are also pervasive in numerical computations. Consequently, there is no shortage of numerical routines for evaluating many of the special functions in widely used mathematical software packages, systems and libraries such as Maple, Mathematica, MATLAB, IMSL, CERN and NAG. However, until now none of these contains reliable, or validated routines. In this paper, a routine must do more than just compute an accurate approximation. In addition to this, it must provide a guaranteed bound on the error of the computed numerical value. In the case of a real-valued function, this error bound determines an interval within which the exact function value is guaranteed to lie.
چکیده
1.مقدمه
2 جمع آوری خطای گرد شده
3 کنترل خطای گرد شده
4 ارزیابی اعتبار سنجی شده تابع
5 توسعه سری تیلور
6 نمایش کسر مسلسل
7 مثال: توابع خطا و مکمل خطا
8 لمها و ظرایف کار
9 لمها و قضایا
abstract
1. Introduction
2. Round-off error accumulation
3. Round-off error control
4. Validated function evaluation
5. Taylor series development
6. Continued fraction representation
7. Example: the error and complementary error functions
8. Tips and tricks of the trade
9. Lemmas and theorems
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت ورد (word) با قابلیت ویرایش، بدون آرم سایت ای ترجمه
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت pdf، بدون آرم سایت ای ترجمه