گراف ایده آل پوچ ساز از یک حلقه
فرض کنید S یک نیمگروه با 0 و R یک حلقه با 1 باشد. تعریف از گراف های مقسوم علیه صفر از نیمگروه های جابجایی به نیمگروه های نه ضرورتا جابجایی تعمیم می دهیم. یک گراف ایده آل پوچ شونده از یک حلقه به عنوان نوع خاصی از گراف مقسوم علیه صفر از یک نیمگروه تعریف می کنیم. دو روش برای تعریف گراف های مقسوم علیه صفر از نیمگروه ها معرفی می کنیم. تعریف نخست یک گراف جهتدار Γ(S) ارائه می هد، و تعریف دیگر یک گراف غیرجهتدار ¯Γ (S) را نتیجه می دهد. نشان داده شده است که گراف Γ(S) ضرورتا همبند نیست، اما ¯Γ (S) همیشه همیند است و diam (¯Γ (S))≤3. برای یک حلقه R یک گراف جهتدار APOG(R) تعریف می کنیم که برابر با Γ(IPO(R)) است، که IPO(R) یک نیمگروه شامل همه حاصلضرب ها از دو ایده آل یک طرفه از R است، و یک گراف غیرجهتدار ¯APOG (R) برابر با ¯Γ (IPO(R)) است. نشان می دهیم که R یک حلقه آرتینی (به ترتیب، نوتری) است اگر و فقط اگر DCC (به ترتیب، ACC) روی بعضی زیرمجموعه خاص از رئوسش داشته باشد. همچنین، نشان داده شده است که ¯APOG (R) یک گراف کامل است اگر و فقط اگر یا (D(R))^2=0، R حاصلضرب دکارتی از دو حلقه تقسیم است، یا R یک حلقه موضعی با ایده آل ماکسیمال m است بطوریکه IPO(R)={0,m,m^2,R}. سرانجام، قطر و بعد از حلقه های ماتریسی مربعی روی حلقه های جابجایی M_(n×n) (R) که n ≥2 را بررسی می کنیم.
1.مقدمه
در مرجع [11]، بیک به یک حلقه جابجایی R، گراف مقسوم علیه صفر آن G(R) را نظیر کرد که رئوس آن گردایه کلیه مقسوم علیه های صفر R (شامل عضو 0) است و دو رأس a و b مجاور هستند اگر ab = 0 . اندرسون و لیوینگستون در مرجع [9] زیرگراف Γ(R) از G(R) را معرفی و مورد بررسی قرار دادند که رئوس آن مقسوم علیه های صفر ناصفر R هستند. این گراف ویژگی های مجموعه مقسوم علیه های صفر R را به بهترین شکل نمایش می دهد. همچنین ایده ها و مسائل مطرح شده در [9] به طور کامل و با جزئیات بیشتر در مراجع [4, 8, 10] مورد بررسی قرار گرفته اند. در مرجع [20] ردموند مفهوم گراف مقسوم علیه صفر را به حلقه های غیر جابه جایی گسترش داده است. تعدادی از نتایج بنیادی در رابطه با گراف مقسوم علیه صفر حلقه های ناجابه جایی در مراجع [5, 6, 21] ارائه شده است. برای یک حلقه جابه جایی R با 1، مجموعه ایده آل ها با پوچسازهای غیرصفر را با A(R) نشان می دهیم. گراف ایده آلی پوچ شونده R گرافی فاقد جهت AG(R) است که رئوس آن برابر است با 〖A(R)〗^*=A(R)∖{0}، که رأس های متمایز I و J را مجاور گوییم، اگر I J = 0. مفهوم گراف ایده آلی پوچ شونده یک گراف جابه جایی در مراجع [12, 13] معرفی شده است. چندین نتیجه بنیادی در رابطه با ویژگی های AG(R) در حالتی که حلقه ای جابه جایی است در مراجع [1, 2, 3, 7] ارائه شده اند. برای حلقه R، فرض کنیم D(R) مقسوم علیه های صفر یک طرفه باشد و فرض کنیم S یک نیم گروه با 0 باشد و D(S) مجموعه مقسوم علیه های صفر یک طرفه S باشد. گراف مقسوم علیه صفر نیم گروه جابه جایی S گرافی فاقد جهت با مجموعه رئوس 〖Z(S)〗^* (مجموعه مقسوم علیه های صفر ناصفر S) است که دو رأس متمایز a و b این گراف مجاورند اگر ab = 0. گراف مقسوم علیه صفر نیم گروه های جابه جایی در مرجع [16] معرفی و در مراجع [14, 22, 23, 24] با جزئیات کامل مورد بررسی قرار گرفته است.
Let S be a semigroup with 0 and R be a ring with 1. We extend the definition of the zero-divisor graphs of commutative semigroups to not necessarily commutative semigroups. We define an annihilating-ideal graph of a ring as a special type of zero-divisor graph of a semigroup. We introduce two ways to define the zerodivisor graphs of semigroups. The first definition gives a directed graph Γ(S), and the other definition yields an undirected graph Γ(S). It is shown that Γ(S) is not necessarily connected, but Γ(S) is always connected and diam(Γ(S)) ≤ 3. For a ring R define a directed graph APOG(R) to be equal to Γ(IPO(R)), where IPO(R) is a semigroup consisting of all products of two one-sided ideals of R, and define an undirected graph APOG(R) to be equal to Γ(IPO(R)). We show that R is an Artinian (resp., Noetherian) ring if and only if APOG(R) has DCC (resp., ACC) on some special subset of its vertices. Also, It is shown that APOG(R) is a complete graph if and only if either (D(R))2 = 0, R is a direct product of two division rings, or R is a local ring with maximal ideal m such that IPO(R) = {0, m, m2 , R}. Finally, we investigate the diameter and the girth of square matrix rings over commutative rings Mn×n(R) where n ≥ 2.
1 introduction
In [11], I. Beck associated to a commutative ring R its zero-divisor graph G(R) whose vertices are the zero-divisors of R (including 0), and two distinct vertices a and b are adjacent if ab = 0. In [9], Anderson and Livingston introduced and studied the subgraph Γ(R) (of G(R)) whose vertices are the nonzero zero-divisors of R. This graph turns out to best exhibit the properties of the set of zero-divisors of R, and the ideas and problems introduced in [9] were further studied in [4, 8, 10]. In [20], Redmond extended the definition of zero-divisor graph to non-commutative rings. Some fundamental results concerning zero-divisor graph for a non-commutative ring were given in [5, 6, 21]. For a commutative ring R with 1, denoted by A(R), the set of ideals with nonzero annihilator. The annihilating-ideal graph of R is an undirected graph AG(R) with vertices A(R) ∗ = A(R) \ {0}, where distinct vertices I and J are adjacent if IJ = (0). The concept of the annihilating-ideal graph of a commutative ring was introduced in [12, 13]. Several fundamental results concerning AG(R) for a commutative ring were given in [1, 2, 3, 7]. For a ring R, let D(R) be the set of one-sided zero-divisors of R and IPO(R) = {A ⊆ R : A = IJ where I and J are left or right ideals of R}. Let S be a semigroup with 0, and D(S) be the set of one-sided zero-divisors of S. The zero-divisor graph of a commutative semigroup is an undirected graph with vertices Z(S) ∗ (the set of non-zero zero-divisors) and two distinct vertices a and b are adjacent if ab = 0. The zero-divisor graph of a commutative semigroup was introduced in [16] and further studied in [14, 22, 23, 24].
1.مقدمه
2.گراف ایده آل پوچ شونده مستقیم از یک حلقه
3.گراف ایده آل پوچ شونده غیرجهتدار از یک حلقه
4.گراف های ایده آل پوچ شونده غیر جهتدار برای حلقه های ماتریسی روی حلقه های جابجایی
1 introduction
2 Directed Annihilating-Ideal Graph of a Ring
3 Undirected Annihilating-Ideal Graph of a Ring
4 Undirected Annihilating-Ideal Graphs for Matrix Rings Over Commutative Rings
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت ورد (word) با قابلیت ویرایش، بدون آرم سایت ای ترجمه
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت pdf، بدون آرم سایت ای ترجمه