تکنیک های هسته بدون شبکه مستقیم برای معادلات وابسته زمانی
چکیده
کلاسی از هسته های مثبت معین ارائه می دهیم که برای حل معادلات ارزیابی خاصی از نوع بیضوی برای داده اولیه پراکنده با درونیابی یا تقریب براساس هسته، با اجتناب کامل از انتگرالگیری زمانی، استفاده می شود.
1. مقدمه
مقالات کاربردی زیادی وجود دارد که هسته ها یا توابع پایه ای شعاعی به طور موفقیت آمیزی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی با روش های بدون شبکه استفاده شده اند. استفاده از هسته ها، بطور معمول براساس درونیابی فضایی در مکان های پراکنده است [2]. برای بحث پایداری معادلات دیفرانسیل جزئی، گسسته سازی می تواند مشتقات تحلیلی از توابع ازمایشی را در نهایت به صورت یک دستگاه از معادلات خطی ارائه دهد، که این موضوع برای اولین بار در مقاله ای توسط کانسا در سال 1986 مطرح شد [6]. در راستای همین موضوع، بحث همگرایی در روش های بدون شبکه مبتنی بر هسته های نامتقارن مطرح شد[8] . همچنین روش هایی مطرح شد که در آنها از اطلاعات ضعیفتری استفاده می شد، برای مثال، یکی از این روش ها، روش هم محلی پترو – گالرکین بود [1] که در سال های آتی نیز نظریه همگرایی این روش مورد بررسی قرار گرفت [10]. برای معادله پتانسیل، هسته های خاصی وجود دارند که اجازه می دهند از توابع آزمایشی استفاده کنیم که دقیقا در ویژگی های معادله دیفرانسیل صدق می کنند [9, 5]. این ایده در واقع گونه ای از ایده ی کلی تریفز برای بکار گیری توابع آزمایشی بوده که دقیقا در ویژگی معادله دیفرانسیل جزئی صدق می کنند [13]. از جمله معادلاتی که با این ایده، حل شده است معادله لاپلاس و معادله لاپلاس سه بعدی است که توسط روش هم محلی بدون شبکه با هسته های هارمونیک حل شده است. برای معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته به زمان، روش های مبتنی بر هسته بدون شبکه، شبیه به درونیابی بر اساس یک فضای ثابت می باشد. اما در این روش ها ضرایب وابسته به زمان می باشد و برای آنها یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل معمولی بدست می آید. این روش به عنوان یک روش خوب شناخته شده است و تجربیات مختلفی که از بکارگیری این روش در مقالات و مسائل مختلف بدست آمده است، نشان می دهد که در حالت های مختلفی بسیار مفید می باشند ( برای مثال [14, 7, 4, 12] را ببینید). اما در اینجا ما فلسفه تریفز را دنبال می کنیم و هسته های خاص را استفاده می کنیم که با عملگر بیضوی L، دقیقا در یک نوع ارزیابی خطی از معادلات دیفرانسیل جزئی صدق می کنند. در این صورت، انتگرالگیری بر حسب زمان حذف خواهد شد. اما هزینه استفاده از هسته های وابسته به زمان شامل بسط ها به توابع مشخصه از عملگر دیفرانسیل فضایی L می باشد، که در این بسط ها، ضرایب وابسته به زمان خواهند بود. البته، این ایده، حالت خاصی از روش طیفی است که در عباراتی از هسته مثبت معین وابسته زمانی بیان خواهد شد. تحلیل خطا از این تکنیک و مثال های عددی ارائه خواهد شد. همچنین، به جای استفاده از توابعی که در شرایط مرزی مساله صدق می کنند ولی در معادله دیفرانسیل صدق نمی کنند، در نظر داریم جواب را توسط توابعی تقریب بزنیم که اگر چه شرایط مرزی را نقض می کنند اما در معادله دیفرانسیل صدق می کنند.
abstract
We provide a class of positive definite kernels that allow to solve certain evolution equations of parabolic type for scattered initial data by kernel-based interpolation or approximation, avoiding time intergation completely. Some numerical illustrations are given.
1. Introduction
There are plenty of application papers in which kernels or radial basis functions are successfully used for solving partial differential equations by meshless methods. The usage of kernels is typically based on spatial interpolation at scattered locations, writing the trial functions ‘‘entirely in terms of nodes’’[2]. For stationary partial differential equations, the discretization can take pointwise analytic derivatives of the trial functions to end up with a linear system of equations. This started in [6] and was pursued in the following years, including a convergence theory in [8]. There are also variations that use weak data, like the Meshless Local Petrov–Galerkin method [1] with a convergence theory in [10]. For the potential equation, there are special kernels that allow the use of trial functions that satisfy the differential equation exactly [9,5]. This is a variation of the general idea of Trefftz [13] to use trial functions that satisfy the PDE exactly. For time-dependent partial differential equations, meshless kernel-based methods were similarly based on a fixed spatial interpolation, but now the coefficients are time-dependent, and one obtains a system of ordinary differential equations for these. This is the well-known Method of Lines, sometimes also called differential quadrature, and it turned to be experimentally useful in various cases (see e.g. [14,7,4,12]). But we follow the Trefftz philosophy here and use special kernels that satisfy a linear evolution-type PDE with a purely spatial and elliptic operator L exactly. This will eliminate time integration, but at the expense of using time-dependent kernels that consists expansions into eigenfunctions of the spatial differential operator L with time-dependent coefficients. Of course, this is a special case of a spectral method, conveniently stated in terms of a time-dependent positive definite kernel. We give a rigid error analysis of this technique and provide a few numerical examples. Instead of using trial functions that satisfy the boundary conditions but violate the differential equation, we approximate the solution by selecting functions that violate the boundary conditions but satisfy the differential equation.
چکیده
1. مقدمه
2. معادلات بیضوی خطی
3. بسط هسته ها
4. روش های درونیابی
5. مثال ها
6. تعمیم ها
7. نتیجه گیری
Abstract
1. Introduction
2. Linear elliptic equations
3. Expansion kernels
4. Interpolatory methods
5. Examples
6. Extensions
7. Conclusion
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت ورد (word) با قابلیت ویرایش، بدون آرم سایت ای ترجمه
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت pdf، بدون آرم سایت ای ترجمه