همگرایی روش های هم محلی بدون شبکه مبتنی بر هسته نامتقارن
چکیده
این مقاله، همگرایی از گونه های روش هم محلی مبتنی بر هسته نامتقارن، معرفی شده توسط کانسا در 1986 اثبات می کند. از آن پس، این روش بطور موفقیت آمیزی در بسیاری کاربردها استفاده شد، اگرچه ممکن است بطور تئوری در شرایط خاصی موفقیت آمیز نباشد، و هیچ کران خطا یا اثباتی برای همگرایی تاکنون بیان نشده است. بنابراین ضروری است تا فرضیاتی اضافه کنیم یا اصلاحاتی انجام دهیم. اصلاحاتمان از خطای عددی بوسیله حذف هم محلی اکید جلوگیری می کند و تحلیل ریاضی قوی برای اثبات کران های خطا و حوزه های همگرایی ارائه می دهد. این حوزه ها، با همواری جواب، دامنه، و هسته مشروط بر فضاهای آزمایش بهبود می یابد، اما هنوز بهینه نیستند و نیازمند تکامل هستند. این روش ها مبتنی بر تقریب به باقیمانده ها بوسیله فضاهای جواب بدون شبکه مبتنی بر هسته هستند، و مستقل از نوع عملگر دیفرانسیل می باشند. نتایج به کلاس های بزرگی از مسائل خطی در فرم قوی بکار گرفته می شوند، به شرطی که یک جواب هموار وجود داشته باشد و گسسته سازی با بعضی دقت ها انتخاب می شود. آنالیزمان فرضیاتی شبیه بیضوی بودن را نیاز ندارد و می تواند به مسائل بدرفتار تعمیم داده شود.
1. محتوا
هدف از این مقاله، اثبات کران های خطا و همگرایی از تکنیک های عددی قطعی است که به طور تقریبی معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) با یک دستگاه غیرمربعی و نامتقارن از معادلات هم محلی خطی شامل توابع آزمایش مبتنی بر هسته بدون شبکه را حل می کند. روش بسیار معروف از این نوع، نخستین بار توسط کانسا در 1986 معرفی شد[8]، و مقالات بسیاری در مجلات مهندسی در این مورد وجود دارند (مرجع [5] را ببینید). تابحال، این روش در کاربردها با جوابهای هموار، بسیار موفقیت آمیز بوده است، اما ممکن است در موقعیت های ساختاری خاصی موفق عمل نکند [7]. در نتیجه اثبات های همگرایی و کران های خطا برای فرم اصلی اش وجود ندارد، و یک تحلیل ریاضی قوی، بعضی فرضیات اضافی نیاز خواهد داشت یا تغییراتی را در روش بایستی ایجاد کرد.
Abstract
This paper proves convergence of variations of the unsymmetric kernel-based collocation method introduced by Kansa in 1986. Since then, this method has been very successfully used in many applications, though it may theoretically fail in special situations, and though it had no error bound or convergence proof up to now. Thus it is necessary to add assumptions or to make modifications. Our modifications prevent numerical failure by dropping strict collocation and allow a rigorous mathematical analysis proving error bounds and convergence rates. These rates improve with the smoothness of the solution, the domain, and the kernel providing the trial spaces, but they are currently not yet optimal and deserve refinement. They are based on rates of approximation to the residuals by nonstationary meshless kernel-based trial spaces, and they are independent of the type of differential operator. The results are applicable to large classes of linear problems in strong form, provided that there is a smooth solution and the test and trial discretizations are chosen with some care. Our analysis does not require assumptions like ellipticity, and it can be extended to ill-posed problems.
1. Introduction
The final goal of this paper is to prove error bounds and convergence of certain numerical techniques that approximately solve a PDE problem via an unsymmetric or even nonsquare system of linear collocation equations involving meshless kernel-based trial functions. The most popular method of this kind was first proposed by Kansa [8] in 1986, and there are many follow-up papers in engineering journals (see, e.g., [5] for a selection) that can easily be retrieved via the Internet. This is why this paper does not supply additional numerical examples. So far, the method is quite successful in applications with smooth solutions, but it can fail [7] in specially constructed situations. Consequently, it has neither error bounds nor convergence proofs for its original form, and a rigorous mathematical analysis will either require some additional assumptions or make changes to the method itself. We shall do both, but we shall stay general enough not to spoil the applicability to elliptic, parabolic, and hyperbolic problems. Therefore we need a somewhat nonstandard framework, which we sketch here first, to make sure that the reader does not get lost in the technical details we have to provide later.
چکیده
1. محتوا
2. مسائل خوش رفتار و نظم
3.تقریب فضاهای آزمایش
4.فضاهای آزمایش مبتنی بر هسته
5. پایداری تست گسسته سازی مبتنی بر هسته
6. همگرایی قوی در فضاهای سوبولوف
7. همگرایی ضعیف در فضاهای سوبولوف
8. روش های عددی
9. مسائل بدرفتار
10. نتایج
Abstract
1. Introduction
2. Well-posed problems and regularity
3. Approximation from trial spaces.
4. Kernel-based trial spaces.
5. Stability of kernel-based test discretizations.
6. Strong convergence in Sobolev spaces
7. Weak convergence in Sobolev spaces
8. Numerical methods
9. Ill-posed problems
10. Conclusions
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت ورد (word) با قابلیت ویرایش، بدون آرم سایت ای ترجمه
- ترجمه فارسی مقاله با فرمت pdf، بدون آرم سایت ای ترجمه