دانلود رایگان مقاله جایگاه معنا در آموزش محاسبات

تعریف معنا 

               در طول بیست سال گذشته، ادبیات مربوط به دستورالعمل حساب به طور فزاینده‌ای کلمه‌های «معنی»، «معنادار» و «معناداری» را به همراه داشته‌است. برای بعضی از افراد، این اصطلاح‌ها چیزی بیش از واژگانی در حوزه‌ی آموزش ابتدایی مدرن نیستند که به این دلیل مورد استفاده قرار می‌گیرند که مد روز هستند. برای افراد دیگر، این کلمه‌ها به عنوان نمادی از اعتراض مبهمی نسبت به آن چیزی عمل می‌کنند که آن‌ها، حساب «سنتی» می‌نامند، هرچند که نکات مثبت اندکی به عنوان جایگزین ارائه می‌دهند. برای بقیه، این اصطلاح‌ها برای استفاده در ارتباط با تجارب محاسباتی هستند که از نیازهای احساس شده در کودکان به وجود می‌آیند. این استفاده سوم، بر خلاف دو دسته‌ی اول، مزیت مشخصی دارد. این تعریف، شرایط خاص یادگیری و انگیزه را بیان می‌کند. کودکان فرصتی برای استفاده از ایده‌ها و مهارت‌های محاسباتی خود برای رسیدن به هدف، به دست می‌آورند. 

                با این حال در این مرحله باید بین معنای یک چیز و معنای یک چیز برای چیز دیگری و به طور خلاصه، بین معنای چیزی و معنا برای چیزی تمایز قائل ‌شویم. من به میزان کمی درباره معنای بمب اتم می‌دانم، زیرا دانش شیمی و فیزیک لازم برای درک دقیق آن را ندارم. اما فکر می‌کنم به میزان زیادی درمورد معنای بمب اتم برای چیزهای دیگری مثل صلح یا تخریب فرهنگی می‌دانم. 

               تمایز پیشنهادی من، بازی با کلمات یا موشکافی در نظریات نیست. عدم شناخت علاقه‌مندان به بهبود دستورالعمل‌های حساب درمورد تفاوت بین معنای چیزی و معنا برای چیزی، توافق درمورد رویه‌ها را دشوار می‌سازد. ما از کلمات مشابه، اما با مفاهیم متفاوت استفاده می‌کنیم. استفاده سوم، یعنی اینکه کودکان تجربیات محاسباتی معناداری را هنگام استفاده از حساب در ارتباط با نیازهای واقعی زندگی داشته باشند، به معنا برای چیزی، مربوط می‌شود. این مورد برخی ترجیح می‌دهند چنین تجربیات محاسباتی را به جای «معنادار»، «با اهمیت » بنامند.

               از سوی دیگر، همانطور که معنی بمب اتم در علوم فیزیکی مربوطه یافت می‌شود، معانی حساب نیز در ریاضیات یافت می‌شود. این معانی در زمینه‌های زندگی که معمولاً در آن‌ها جای گرفته‌اند، پیدا نمی‌شوند؛ مگر اینکه کسی از قبل این معانی را بداند. این معانی باید در روابط ریاضی مربوطه و در مفاهیم، تعمیم‌ها و اصول آن جست‌وجو شوند. در این مفهوم، کودک هنگامی تجربه حساب معناداری دارد که وضعیتی که با آن روبه‌رو می‌شود از لحاظ ریاضی «منطقی باشد». او زمانی که می‌داند به لحاظ محاسباتی چه کاری انجام دهد و می‌داند چگونه آن کار را انجام دهد، در ارتباط با یک وضعیت مقداری، به طور معناداری رفتار می‌کند؛ و زمانی دارای معانی محاسباتی است که محاسبات را به عنوان جزئی از ریاضیات درک کند. پس معنای محاسبات می‌تواند به عنوان درک مفاهیم ریاضی تعریف شود و این کلمه در این مقاله، به همین معنی مورد استفاده قرار می‌گیرد. 

              من به گونه‌ای از معانی صحبت کردم که گویی مطلق هستند، یعنی یا چیزی معنی دارد یا ندارد. با این حال درمورد یادگیری، معانی به جای مطلق بودن، نسبی هستند. درجاتی از معانی وجود دارد؛ درجاتی از آنچه که ممکن است میزان، دقت، عمق یا پیچیدگی نامیده شود؛ و رشد در معانی می‌تواند در هر یک از این ابعاد رخ دهد. برای جنبه‌های نسبتاً کمی از زندگی و همچنین برنامه آموزشی مدرسه (از جمله محاسبات)، به دنبال تحقق معنای کامل چیزی هستیم. علاوه بر این، هر درجه معنایی که بخواهیم کودکان داشته باشند، نمی‌توانیم تمام آن را به یک باره ایجاد کنیم. در عوض، در سطوح مختلف با مفاهیم متفاوت متوقف می‌شویم؛ یعنی اکنون در این سطح معنا را هدف قرار داده و بعد از آن در سطح بالاتر و به همین ترتیب.

محاسبات معنادار 

              محاسبات «معنادار»، در مقابل محاسبات «بی‌معنا»، به دستورالعملی اشاره دارد که به عمد، برای آموزش معانی محاسباتی و محسوس کردن محاسبات برای کودکان از طریق روبط ریاضی، برنامه‌ریزی شده‌است. همه معانی احتمالی تدریس نشده و همچنین همه معانی، به میزان تمامیت یکسانی تدریس نمی‌شوند. پس محاسبات معنادار می‌تواند به عنوان اشغال کردن مکانی در سمت راست مقیاس معناداری، تعبیر شود. از سوی دیگر، محاسبات «بی‌معنا» جایی به سمت انتهای سمت چپ این مقیاس، اما نه در نقطه صفر، را اشغال می‌کند؛ زیرا به سختی می‌توان محاسبات کاملاً بی‌معنایی پیدا کرد. محاسبات بی‌معنا، تنها نسبتاً بی‌معنا است. محتوای آن بدون هیچ هدف خاصی برای توسعه معانی آموزش داده شده و معانی که آموخته می‌شوند به طور تصادفی و عمدتاً از طریق تلاش‌های خود یادگیرنده، ایجاد می‌شوند. 

              معانی محاسبات را تقریباً می‌توان در گروه‌هایی تقسیم کرد. من چهار گروه زیر را پیشنهاد می‌دهم:

1. گروهی شامل فهرست بزرگی از مفاهیم اساسی. برای مثال معانی کل اعداد، کسرهای مشترک، کسرهای اعشاری، درصد و به عقیده اکثر افراد، نسبت و تناسب، در اینجا قرار می‌گیرند. اعداد بر حسب واحدها  نیز به این گروه تعلق دارند، که اختلاف نظر کمی درباره واحدهای خاصی وجود دارد که باید آموزش داده شوند. اصطلاح‌های فنی محاسبات شامل عامل جمع، مقسوم‌علیه، مخرج مشترک و غیره نیز در اینجا قرار دارند و باز هم، دیدگاه‌های متفاوتی درمورد اصطلاح‌های ضروری و غیرضروری وجود دارد. 

2. گروه دوم معانی محاسبات شامل درک عملیات‌های اساسی است. کودکان باید بدانند چه زمانی جمع کنند، تفریق کنند، ضرب کنند و تقسیم کنند. آن‌ها باید این دانش را داشته باشند و همچنین باید بدانند که هنگام استفاده از عملیات خاصی، برای اعداد چه اتفاقی می‌افتد. اگر کتاب‌های درسی جدیدتر شواهد موثقی درمورد این نکته به دست آورند، روند به خوبی در جهت تدریس عملیات اساسی پیش رفته است. تغییرات اندک در کتاب‌های درسی اخیر، نسبت به تغییرهای بیست سال پیش، موثرتر بوده است. 

3. سومین گروه معانی، از اصول، روابط و تعمیم‌های محاسباتی مهم‌تری تشکیل شده که موارد زیر از رایج‌ترین آن‌ها هستند: هنگامی که صفر به یک عدد اضافه شود، مقدار آن بدون تغییر باقی می‌ماند. حاصل دو عامل مطلق ، صرف نظر از اینکه کدام عامل به عنوان ضریب استفاده شود، ثابت باقی می‌ماند. صورت و مخرج کسر می‌توانند بدون تغییر مقدار کسر، به عدد ثابتی تقسیم شوند. 

4. گروه چهارم معانی، مربوط به درک سیستم اعشاری و استفاده از آن در گویا کردن  رویه‌های محاسباتی و الگوریتم‌های ما است. به نظر می‌رسد که گرايش رو به افزایشی برای توجه بیشتر به معانی اعداد بزرگ از نظر ارزش مکانی  ارقام آن‌ها وجود دارد. به همین ترتیب، تمایل شدیدی به گویا کردن عملیات محاسباتی ساده‌تر مانند «حمل » در جمع کردن و «قرض گرفتن » در تفریق وجود دارد؛ اما تردیدهایی درمورد توسعه‌ی گویا کردن در ضرب و تقسیم با اعداد صحیح و کسری، وجود دارد.

DEFINING MEANING

              Increasingly, during the last twenty years, the literature relating to arithmetic instruction has carried the words “meaning,” “meaningful,” and “meaningfully.” For some persons, these terms seem to be no more than words—mere items in the vocabulary of modern elementary education, adopted because, for the moment, they are fashionable. For others, these words serve as symbols of a vague protest against what they call the “traditional” arithmetic, though they have little except pious wishes to offer as a substitute. For still others, the terms are appropriate for use in connection with arithmetic experiences which arise out of felt needs on the part of children. This third usage, unlike the first two, has in its favor a certain definiteness. It implies particular conditions of learning and motivation. Children see the chance to use their arithmetical ideas and skills to further some end, and they use the ideas and skills for this purpose.

               We should, however, at this point, distinguish between what I shall designate the meaning of a thing and the meaning of a thing for something else; for the sake of brevity, between meaning of and meaning for. I know little about the meaning of the atomic bomb, because I lack the knowledge of chemistry and physics which are requisite to accurate understanding, but I think I know a good deal about the meaning of the atomic bomb for other things— for peace or for the destruction of our culture, for example.

               The distinction I am suggesting is no verbal quibble, no bit of theoretical hairsplitting. Failure to recognize the difference between meanings of and meanings for makes it difficult for those of us who are interested in the improvement of arithmetic instruction to agree on procedures. We use the same words but in different senses. The third usage, namely, that children have meaningful arithmetic experiences when they use arithmetic in connection with real life needs, relates to meanings for. On this account some prefer to call such arithmetic experiences “significant” rather than “meaningful.”

              On the other hand, just as the meaning of the atomic bomb is to be found in the related physical sciences, so the meanings of arithmetic are to be found in mathematics. They are not to be found in the life-settings in which they are normally imbedded, except by him who already possesses them. They must be sought in the mathematical relationships of the subject itself, in its concepts, generalizations, and principles. In this sense a child has a meaningful arithmetic experience when the situation with which he deals “makes sense” mathematically. He behaves meaningfully with respect to a quantitative situation when he knows what to do arithmetically and when he knows how to do it; and he possesses arithmetical meanings when he understands arithmetic as mathematics. In arithmetic, then, meanings of may be defined as mathematical understandings, and it is in this sense that the word will be used throughout this article.

              I have spoken of meanings as if they were absolute—as if, one has a meaning, or he has none. In terms of learning, however, meanings are relative, not absolute. There are degrees of meanings; degrees of what may be termed extent, exactness, depth, complexity; and growth in meanings may take place in any of these dimensions. For relatively few aspects of life, for relatively few aspects of the school’s curriculum (including arithmetic), do we seek to carry meanings to anything like their fullest development. Moreover, whatever the degree of meaning we want children to have, we cannot engender it all at once. Instead, we stop at different levels with different concepts; we aim now at this level of meaning, later at a higher level, and so on.

MEANINGFUL ARITHMETIC

            “Meaningful” arithmetic, in contrast to “meaningless” arithmetic, refers to instruction which is deliberately planned to teach arithmetical meanings and to make arithmetic sensible to children through its mathematical relationships. Not all possible meanings are taught, nor are all meanings taught in the same degree of completeness. Meaningful arithmetic, then, may be thought of as occupying a place well to the right on a scale of meaningfulness. On the other hand, “meaningless” arithmetic occupies a place well toward the left end of the scale but not at the 0-point; for there can hardly be a wholly meaningless arithmetic. Meaningless arithmetic is only relatively meaningless. Its content is taught with no specific intention of developing meanings, and the meanings which are learned are acquired incidentally and largely through the learner’s own efforts.

             The meanings of arithmetic can be roughly grouped under a number of categories. I am suggesting four.

1. One group consists of a large list of basic concepts. Here, for example, are the meanings of whole numbers, of common fractions, of decimal fractions, of per cent, and, most persons would say, of ratio and proportion. Here belong, also, the denominate numbers, on which there is only slight disagreement concerning the particular units to be taught. Here, too, are the technical terms of arithmetic—addend, divisor, common denominator, and the like—and, again, there is some difference of opinion as to which terms are essential and which are not.

2. A second group of arithmetical meanings includes understanding of the fundamental operations. Children must know when to add, when to subtract, when to multiply, and when to divide. They must possess this knowledge, and they must also know what happens to the numbers used when a given operation is employed. If the newer textbooks afford trustworthy evidence on the point, the trend toward the teaching of the functions of the basic operations is well established. Few changes in the more recent textbooks, as compared with those of twenty years ago, are more impressive.

3. A third group of meanings is composed of the more important principles, relationships, and generalizations of arithmetic, of which the following are typical: When 0 is added to a number, the value of that number is unchanged. The product of two abstract factors remains the same regardless of which factor is used as multiplier. The numerator and denominator of a fraction may be divided by the same number without changing the value of the fraction.

4. A fourth group of meanings relates to the understanding of our decimal number system and its use in rationalizing our computational procedures and our algorisms. There appears to be a growing tendency to devote more attention to the meanings of large numbers in terms of the place values of their digits. Likewise there is a strong tendency to rationalize the simpler computational operations such as “carrying” in addition and “borrowing” in subtraction; but there is some hesitation about extending rationalizations very far into multiplication and division with whole numbers and fractions.

تعریف معنا 
محاسبات معنادار 
افزایش علاقه به معنای محاسبات 
مخالفت‌ها در آموزش محاسبات معنادار
ارزش‌های محاسبات معنادار 

DEFINING MEANING
MEANINGFUL ARITHMETIC
INCREASED INTEREST IN ARITHMETICAL MEANINGS
OBJECTIONS TO TEACHING ARITHMETIC MEANINGFULLY
VALUES OF MEANINGFUL ARITHMETIC